Задачи недели

[General]

Кстати, про число палиндром, равное сумме своих всех делителей - есть одно или два таких числа, в зависимости от формулировки. Может и больше, не знаю

[General]

вован, так общая формула a_n-1 = (100n²+20n-1)² достаточна, или нужно что-то ещё?

[вован]

7. вот вам целый ряд квадратов чисел. что в них есть общего?

419²  929²  1639²  2549²  3659²  4969²

кто найдет?

19*20*21*22+1 = 419²
29*30*31*32+1=929²
39*40*41*42+1=1639²
и т.д.

[General]

красиво!

[вован]

а такая?


13=(а/в+в/с+с/а)

или

14=(а/в+в/с+с/а)      2 варианта

[General]

Задача 11. Сумма 10-ти различных натуральных чисел равна 2010, Какое наименьшее значение может принимать сумма трёх наименьших из них?

Задача 12.
Решите в целых числах уравнение:



Задача 15.
На столе лежат в открытую 12 карт: 4 туза (оценивается в 1 очко), 4 двойки и 4 тройки.
Игроки по очереди берут карты со стола и складывают в отдельную стопку, одновременно подсчитывая количество очков в ней. Проигрывает тот, после чьего хода в стопке окажется более 21го очка. Кто выиграет при правильной игре и какова выигрышная стратегия?

[Disciple]

5) В компьютерной программе хранится 5 чисел: дата (число, номер месяца) и время (часы,минуты,секунды). На ввод дается конечное выражение, состоящее из любого числа трех арифметических действий (+, -, *), скобок, 5 хранимых переменных и любых целых чисел. Выводится результат результат подсчета по формуле.

Вопрос: за какое минимальное количество запросов можно узнать, какие именно числа хранятся в программе? Привести эти запросы.

Показать скрытый текст

За один. Запрос "число*100000000+месяц*1000000+час*10000+минута*100+секунда". Первые две цифры результата - это число, вторые две дата, и так далее

Задача 11. Сумма 10-ти различных натуральных чисел равна 2010, Какое наименьшее значение может принимать сумма трёх наименьших из них?

Показать скрытый текст

Минимальная сумма 6. (Десять чисел - 1,2,3,4,5,6,7,8,9,1965)

Задача 12.
Решите в целых числах уравнение:

Показать скрытый текст

х=0, у=4. Других решений нет.

[Илья]

Вопрос на счет задачи №15. Как может оказаться в стопке у кого-то из игроков больше 21, если изначально было 4*2+4*3+4= 24 очка?

[Валерий]

Вопрос на счет задачи №15. Как может оказаться в стопке у кого-то из игроков больше 21, если изначально было 4*2+4*3+4= 24 очка?

Они не себе их берут, а складывают в общую стопку.

[Илья]

Ясно.

[Disciple]

Задача 15.
На столе лежат в открытую 12 карт: 4 туза (оценивается в 1 очко), 4 двойки и 4 тройки.
Игроки по очереди берут карты со стола и складывают в отдельную стопку, одновременно подсчитывая количество очков в ней. Проигрывает тот, после чьего хода в стопке окажется более 21го очка. Кто выиграет при правильной игре и какова выигрышная стратегия?

Показать скрытый текст

Выигрывает первый. Для этого ему стоит вначале скидывать в стопку карты номиналом 2(двойки).
-Если он будет играть двойками только один. То на это унего уйдет 4 хода. Второй за эти четыре хода скинет 4 карты. И четыре карты остануться на столе. Возможны 5 случаев:
1)Остались карты - 3 3 3 3.
Значит сумма в стопке 12(всего сумма 24,и 12 на столе). после след круга (очередного хожа первого, а потом второго игрока) на столе остануться две тройки и сумма стопки будет 18. Перый кладет еще одну 3 в стопку. Сумма стопки 21, и второй проигрывает.
2)Остались 3 3 3 1. Первый ходит еденицей, второму приходиться ходить тройкой. остались две тройки и сумма стопки 18. Концовка аналогична 1)
3)Остались 3 3 1 1. Сумма стопки при этом 16(на столе 8 очков). Первый ходит 3. Сумма стопки 19. Если второй сходит 3,то проиграет, поэтому вынужден хотить 1. Сумма стопки 20. Первый ходит 1. Сумма стопки 21. Второй проиграл.
4)Остались 3 1 1 1. Сумма стопки 18. Первый ходит 3. Сумма втопки 21. Второй проиграл.
5)Остались 1 1 1 1. Сумма стопки 20. Первый ходит 1. сумма стопки 21. Второй проиграл.
-Если же двойки кончились раньше 4 хода первого(Двойки скидывал не только он, но и второй игрок), то первый ходит как захочет до тех пор пока на столе не останется 4 карты. А так как на столе нет двоек, то это будет одна из 5 рассмотренных выше ситуаций, в которых Первый выиграет

[General]

Поправка: в задаче 11 на самом деле нужно найти наибольшее значении суммы трёх наименьших слагаемых

Disciple,
[spoiler]Да, красиво, я сам решал по-другому, через выигрышные и проигрышные позици�

[Disciple]

Поправка: в задаче 11 на самом деле нужно найти наибольшее значении суммы трёх наименьших слагаемых

Показать скрытый текст

Тогда ответ 591. И числа 196,197,198,199,200,201,202,203,204,210.
Пусть а1,а2,а3...а9,а10 числа, упорядоченные по возрастанию и их сумма равна 2010.
Если а1+а2+а3>=592, тогда а3>=199(если это не так и а3<199, то есть а3<=198, то а2<=197 и а1<=196, и а1+а2+а3<=591). Отсюда получаем что а4>=200,а5>=201..а10>=206.Проссумируем неравенства:
а1+а2+а3>=592
а4>=200
а5>=201
а6>=202
а7>=203
а8>=204
а9>=205
а10>=206, и получим что сумма а1+а2+..+а9+а10>=2013. Противоречие условию. Значит Сумма а1+а2+а3<592.

[buka]

Поправка: в задаче 11 на самом деле нужно найти наибольшее значении суммы трёх наименьших слагаемых

Показать скрытый текст

Тогда ответ 591. И числа 196,197,198,199,200,201,202,203,204,210.
Пусть а1,а2,а3...а9,а10 числа, упорядоченные по возрастанию и их сумма равна 2010.
Если а1+а2+а3>=592, тогда а3>=199(если это не так и а3<199, то есть а3<=198, то а2<=197 и а1<=196, и а1+а2+а3<=591). Отсюда получаем что а4>=200,а5>=201..а10>=206.Проссумируем неравенства:
а1+а2+а3>=592
а4>=200
а5>=201
а6>=202
а7>=203
а8>=204
а9>=205
а10>=206, и получим что сумма а1+а2+..+а9+а10>=2013. Противоречие условию. Значит Сумма а1+а2+а3<592.

Показать скрытый текст

Можно проще.
Определим верхнюю границу меньшего числа.   
Чтобы 3 минимальных слагаемых из 10 разных, дающих сумму 2010 были максимальными, максимальное из них д/б минимальным, второе - на 1 меньше и т.д., короче - эти 10 слагаемых д/б последовательными 10-ю числами.
Х + Х + 1 + Х + 2 + ... + Х + 9 = 2010;
10*Х + 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 2010.
Х = (2010 - 45)/10 = 196.5, т.е. оно дробное.
Максимальное целое тогда будет 196.
Тогда сумма 10 последовательных составит 2005, поэтому последнее нужно увеличить на 5 (...204,210 вместо ...204,205)     
Можно увеличивать 2 последних числа (вместо ...204,210 -> ...205,209, или 3 последних числа и т.д., но не более 5 последних чисел.
Другими словами, эти лишние 5 нельзя "растворить" среди меньших.
Тогда сумма 3 составит 196 + 197 +198 и никак не больше...

[sek140675]

Кстати, про число палиндром, равное сумме своих всех делителей - есть одно или два таких числа, в зависимости от формулировки. Может и больше, не знаю

а можно увидеть ответ про палиндром?