Коллекция Степеней

[Семён]

В этом топе предложу выложить ваши наблюдения в области чисел-степеней таких как  точные квадраты,кубы и т д.
Необычные комбинации и разложения вы можете без сомнений отправлять в этот топик..Буду рад пополнить коллекцию).
Данные и Диковинок чисел не предлагать).Можно в качестве примера предлагать несколько вариантов того или иного факта.Можно также побаловать интересными формулами касающихся степеней( в общем виде).

Для начала напишу несколько из моих личных наблюдений- может они совпали с теми что уже были опубликованы на одном из форумов этого сайта-не проверял.

Свойство кубов:
1³=1
2³=3+5
3³=7+9+11
4³=13+15+17+19
5³=21+23+25+27+29
....................................................
n³=(n²-n+1) + (n²-n+3) + ....  +n²+n-1


Свойство квадратов:
1²=1
2²=1+3
3²=1+3+5
4²=1+3+5+7
5²=1+3+5+7+9
.................................................
n²=1+3+5+...+2n-1


Ещё одно свойство квадратов
Вот пример(сам наткнулся):
1+2+3+4+5+(6)+5+4+3+2+1=36 = (6)²

Таким образом: n² = 1+2+...+ n-1 + n + n-1 +...+2+1  для любых натуральных n.

Очередь за вами)!
Удачи!

[sek140675]

3²=5²-4²
5²=13²-12²
7²=25²-24²
9²=41²-40²
и т.д.

[Redirect]

3²=5²-4²
5²=13²-12²
7²=25²-24²
9²=41²-40²
и т.д.

Просто формула

[sek140675]

21²=221²-220²

41²=841²-840²

61²=1861²-1860²

81²=3281²-3280²


и т. д.

[sek140675]

76207893750952161²-76207893750952160²=123456789²

[sek140675]

Ещё одно свойство квадратов
Вот пример(сам наткнулся):
1+2+3+4+5+(6)+5+4+3+2+1=36 = (6)2

Таким образом: n2 = 1+2+...+ n-1 + n + n-1 +...+2+1  для любых натуральных n.


перечитай Перельмана

кстати у него есть такое:

7³-6³ =   127
9³-8³  =  217
10³-9³ = 271
16³-15³=721

[General]

Здорово!
 
А я недавно читал //текст доступен после регистрации//, про общую формулу корней

[Семён]

так,ТАК...коллекция пополняется@@)

[sek140675]

Группировка натуральных чисел
Предположим, что натуральные числа разделены на группы следующим образом:


(1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), ...
и что каждая вторая группа отброшена. Тогда сумма чисел в первых k оставшихся группах всегда равна k4 .
Например, для k = 3 имеем


1 + (4 + 5 + 6) + (11 + 12 + 13 + 14 + 15) = 81 = 3⁴

.

[square]

K-значное число называется числом Армстронга, если оно равно сумме k-ых степеней своих цифр. Например, 3-значное число 153 является числом Армстронга, так как:

153 = 1³ + 5³ + 3³

Найти все числа Армстронга от 3-значных до 9-значных.

[Илья]

Наличие нуля допустимо в числах Армстронга?

[square]

Допустимо. И повторение цифр тоже разрешается.

[sek140675]

и гуглить нельзя??

[Илья]

Трехзначные получились такие: 153, 307, 407, 945. Если конечно ничего не упустил.

[sek140675]

а 13 значное- слабо??