Задачка простая, для школьников.

[Sirion]

Можно ли на прямой отметить такое бесконечное множество точек, чтобы никакие два различных отрезка с концами в этих точках не были соизмеримы? Скажу по секрету: можно. Задача же состоит в том, чтобы привести конкретный пример.

Да, интересный вопрос, который я для себя ещё не решил: может ли это множество иметь мощность континуум? Это уже не для школьников.

[moonlight]

первое что пришло в голову: квадратные корни из простых чисел.
или корни степени P из 2, где P-простое число.

[Sirion]

таки да, совершенно верно
а доказать?)

[moonlight]

лучше взять логарифмы простых чисел.
(ln(p1)-ln(p2))/(ln(q1)-ln(q2))=r, p1>p2, q1>q2
ln(p1/p2)=r*ln(q1/q2)
p1/p2=(q1/q2)^r
если r рациональное =m/n то (p1/p2)^n=(q1/q2)^m
p1^n*q2^m=q1^m*p2^n
т.к. или p1<>q1 или p2<>q2 то равенство невозможно.

[Sirion]

хитёр) а что насчёт континуального множества?

[moonlight]

Допустим что такое множество M существует. Тогда есть хотя бы один интервал (a;b) такой что лишь счетное множество его точек не принадлежит M. Возьмем внутри (a;b) точку c принадлежащую M и выберем какое-нибудь d: a < c-d < c+d < b. Рассмотрим точки e интервала (c-d;c) принадлежащие M. Их несчетное множество. Для каждой такой точки рассмотрим точку 2с-е в интервале (c;c+d). Если бы каждая такая точка не принадлежала M то их бы тоже было несчетное множество. Таким образом существует хотя бы одна точка e' принадлежащая M такая что и 2c-e' принадлежит M. Точка c выбиралась из M и она середина отрезка [e';2c-e'].

Так что если я правильно понимаю что такое континуум то ответ отрицательный. 

[Sirion]

>Тогда есть хотя бы один интервал (a;b) такой что лишь счетное множество его точек не принадлежит M.

Это как бы неправда, ня.

[Magy_46]

Nu esli mnojestvo ne diskretnoye ,to eto mnojestvo mojet imet mo6nost kontiniuma!!!

[Sirion]

А что такое дискретное множество?

[Magy_46]

diskretnoye mnojestvo- eto s4etnoye ili kone4noye mnojestvo!!!

[Sirion]

Хм. Тогда не дискретное множество, без сомнения, может иметь мощность континуума или выше. Так что из этого следует-то?

[Magy_46]

esi ne diskretnoye to mojet!kontinium ozna4aet neprerivnoye!a u vas tam beskone4noye 4iislo to4ek!mojno po rincipu vlojennix otrezkov re6it i dokazat!

[Sirion]

ну так решите и докажите =)

[Magy_46]

ok,re6u viloju)

[BIVES]

Пусть существуют континуум точек таких, что никакие два различных отрезка с концами в этих точках не  соизмеримы. Тогда мощность множества всех отрезков с концами в этих точках неменьше мощности множества точек. Перенеся все отрезки на другую числовую прямую левыми концами к точке 0 мы получим строго возрастающую (т. к. все отрезки разные) последовательность правых концов. Выбирая между правыми концами рациональную точку мы получим, каждому отрезку в соответствие какую-то рациональную точку. Значит, мощность множества всех отрезков будет равна мощности какого-то подмножества рациональных чисел. Получено противоречие.