Ладьи в кубе

[Sirion]

buka, я думал, Вы уже поняли о_О
Берём два куба со сторонами p и p для k=2p, либо p и p+1 для k=2p+1. Размещаем эти кубы в противоположных углах исходного - так, чтобы они касались только одной вершиной. В каждом из выбранных малых кубов расставляем ладьи так, чтобы в каждом его ряде, независимо от направления, была одна ладья. Для куба со стороной p ладей потребуется p², для куба со стороной p+1 - соответственно. Общее количество ладей соответствует оценке, и нетрудно понять, что эти ладьи бьют любое поле большого куба.

[moonlight]

Берём два куба со сторонами p и p для k=2p, либо p и p+1 для k=2p+1. Размещаем эти кубы в противоположных углах исходного - так, чтобы они касались только одной вершиной. В каждом из выбранных малых кубов расставляем ладьи так, чтобы в каждом его ряде, независимо от направления, была одна ладья. Для куба со стороной p ладей потребуется p², для куба со стороной p+1 - соответственно. Общее количество ладей соответствует оценке, и нетрудно понять, что эти ладьи бьют любое поле большого куба.

Да вот именно такую картинку я себе представлял

для 5х5х5 не более 13

Интуитивно казалось что меньше 13 поставить нельзя но доказательства придумать не получилось.

[moonlight]

[buka]

buka, я думал, Вы уже поняли о_О
Берём два куба со сторонами p и p для k=2p, либо p и p+1 для k=2p+1. Размещаем эти кубы в противоположных углах исходного - так, чтобы они касались только одной вершиной. В каждом из выбранных малых кубов расставляем ладьи так, чтобы в каждом его ряде, независимо от направления, была одна ладья. Для куба со стороной p ладей потребуется p², для куба со стороной p+1 - соответственно. Общее количество ладей соответствует оценке, и нетрудно понять, что эти ладьи бьют любое поле большого куба.

Спасибо. А расширить на бОльшую размерность?

[Sirion]

абсолютно аналогично)

[buka]

И как?

[Sirion]

для n-куба с ребром k - два n-куба с рёбрами (p,p) или (p,p+1), касающиеся только углами
в каждом - p^n-1 либо (p+1)^n-1 ладей, покрывающих все ряды этих подкубов

[buka]

для n-куба с ребром k - два n-куба с рёбрами (p,p) или (p,p+1), касающиеся только углами
в каждом - p^n-1 либо (p+1)^n-1 ладей, покрывающих все ряды этих подкубов

Не работает, увы...
По Вашему получается что для 4-хмерного куба с ребром к (к - чётное)  потребуется к^3/4, а для 5-тимерного - к^4/8 - это слишком мало - один 5-мерный кубик (в одиночестве) простреливает только 5k-4 полей, 4-хмерный - 4k-3 полей...

[Sirion]

для n-куба с ребром k - два n-куба с рёбрами (p,p) или (p,p+1), касающиеся только углами
в каждом - p^n-1 либо (p+1)^n-1 ладей, покрывающих все ряды этих подкубов

Не работает, увы...
По Вашему получается что для 4-хмерного куба с ребром к (к - чётное)  потребуется к^3/4, а для 5-тимерного - к^4/8 - это слишком мало - один 5-мерный кубик (в одиночестве) простреливает только 5k-4 полей, 4-хмерный - 4k-3 полей...

По-нашему ничего такого не получается. А вот как по-Вашему это вышло - я, честно говоря, не понял.

[buka]

Пусть для простоты К - чётное, например, 4. Сколько потребуется 4-хмерных ладей?
А теперь подсчитайте сколько полей простреливает одна 4-хмерная ладья, если все поля считать её. Сравните...
То же самое посчитайте заодно для 5-ти мерной ладьи. Пусть для 5-мерной вообще К = 2

[Sirion]

уупс... я идиот
обобщённая формула для n измерений будет [(k/2)^n-1] (верх)

[buka]

уупс... я идиот
обобщённая формула для n измерений будет [(k/2)^n-1] (верх)

Да нет, это не может работать, что я Вам пытаюсь объяснить (кстати, Вы, навереное имели в виду  2[(k/2)^n-1], а не  [(k/2)^n-1])
Одна N-мерная ладья стреляет в N измерениях и даже если не учитывать пересечений с прострелами от других ладей то в N-мерном кубе она простреливает N(К-1)+1 поле,  то есть для N-мерного куба потребуется не менее К^N-1/К полей (я уж -1 пренебрегаю )
То есть, для 5-мерного куба необходимо минимум  К⁴/5, а у Вас выходит  К⁴/8
Поэтому зависимость типа A(К/2)^N-1 неприемлема (А - любое).

[Sirion]

нет, я имел в виду, что конкретно моё доказательство обобщается до оценки 2(k/2)^n-1
беда...

[buka]

У меня есть некоторые соображения на этот счёт. Правда, они скорее философские, но если Вам интересно - я соберусь и изложу.

[Sirion]

Почему же мне неинтересно? Очень даже интересно =)