Задача от Дьюдени

[fortpost]

Если вам задачи из школьного курса математики кажутся слишком легкими, то попробуйте решить эту.
Найдите два рациональных числа, сумма кубов которых равна 17.

[buka]

Надо в целых числах решить уравнение:
X³ + Y³ = 17*Q³

[iPhonograph]

О!  Нагуглил!

Показать скрытый текст

[moonlight]

x³+y³=17z³
(x+y)(x²-xy+y²)=17z³
пусть x>y>=1
рассмотрим варианты
x+y=17^pz^q, x²-xy+y²=17^1-pz^3-q, (p=0,1, q=0..3)
в каждом из этих 8 случаев можно доказать что решений нет.

[iPhonograph]

а чем не устраивает вариант
x+y = 17*z₁³
x²-xy+y² = z₂³

[moonlight]

Да, то что я там написал годится только для простых z.

[семеныч]

а семёнычу интересно: " Какая цифра находится непосредственно слева от цепочки нулей, которой заканчивается факториал миллиона?"

[fortpost]

О!  Нагуглил!

Показать скрытый текст

И это правильно. А теперь небольшое уточнение. У Дьюдени требовалось найти длины ребер двух кубиков, сумма объемов которых равна 17. Тогда x>0, y>0, q>0.

[iPhonograph]

Так я и это нагуглил!

Показать скрытый текст

Дьюдени нарисовал кривую x³+y³=17, отметил на ней найденную рациональную точку, провёл через неё касательную к этой кривой и она пересекла кривую в другой (на этот раз положительной) рациональной точке с более сложными дробями - числитель дроби был порядка 100500.  А потом он провернул этот трюк ещё раз и получил ещё более длинные числа, удовлетворяющие этому диофантовому уравнению, причём вообще без перебора.  В то время вычислительной техники не было, даже арифмометров, и остальные математики, увидев числа охренительной длины, очень его зауважали, пока не раскусили этот фокус
 

[семеныч]

а с четырьмя нельзя??


(3/5)³+(3/5)³+(12/5)³+(7/5)³ = 17

[fortpost]

Так я и это нагуглил!

Показать скрытый текст

Дьюдени нарисовал кривую x³+y³=17, отметил на ней найденную рациональную точку, провёл через неё касательную к этой кривой и она пересекла кривую в другой (на этот раз положительной) рациональной точке с более сложными дробями - числитель дроби был порядка 100500.  А потом он провернул этот трюк ещё раз и получил ещё более длинные числа, удовлетворяющие этому диофантовому уравнению, причём вообще без перебора.  В то время вычислительной техники не было, даже арифмометров, и остальные математики, увидев числа охренительной длины, очень его зауважали, пока не раскусили этот фокус
 

Очень интересно! А ссылку не дадите?

[fortpost]

а с четырьмя нельзя??


(3/5)³+(3/5)³+(12/5)³+(7/5)³ = 17

Можно. Но это другая задача - можно ли число представить в виде суммы кубов рациональных чисел.

[fortpost]

а семёнычу интересно: " Какая цифра находится непосредственно слева от цепочки нулей, которой заканчивается факториал миллиона?"

Да это ж надо все пары двоек-пятерок и десятки посчитать! С ума можно сойти!

[семеныч]

можно с тремя числами получить 17

куб двойки  сложить с кубами вот этих чисел //текст доступен после регистрации//

[fortpost]

можно с тремя числами получить 17

куб двойки  сложить с кубами вот этих чисел //текст доступен после регистрации//

Снаряды ложатся все ближе...