Осторожно: дачники!

[Питер Пен]

Два ЗАЗа несутся по прямым перпендикулярным друг другу дорогам. Скорость первого из них составляет 48 км/ч, а второго – 36 км/ч. Известно, что в некоторый момент времени первый ЗАЗ находился в 40 км от перекрестка, а другой – в 50 км. Какое возможно между ними наименьшее расстояние на плоскости?
Желательно не усложнять решение задачи через нахождение производной.

[fortpost]

Показать скрытый текст

Интуитивно кажется, что наименьшее расстояние будет, когда оба окажутся на равных расстояниях от перекрестка.  Это чуть больше 16 км. Однако ж более тщательный анализ показывает, что расстояния меж ними после прохождения перекрестка первым ЗАЗом на 0 и 24 минутах, на 1 и 23, на 2 и 22 минутах и т.д. попарно равны. Возникает смутное подозрение, что критический момент наступает на 12-й минуте. И оно похоже так, ибо расстояние при этом в точности равно 16 км. Не удержавшись от соблазна и проведя неполиткорректное решение, можно убедиться, что это действительно так.

[Питер Пен]

Показать скрытый текст

Интуитивно кажется, что наименьшее расстояние будет, когда оба окажутся на равных расстояниях от перекрестка.  Это чуть больше 16 км. Однако ж более тщательный анализ показывает, что расстояния меж ними после прохождения перекрестка первым ЗАЗом на 0 и 24 минутах, на 1 и 23, на 2 и 22 минутах и т.д. попарно равны. Возникает смутное подозрение, что критический момент наступает на 12-й минуте. И оно похоже так, ибо расстояние при этом в точности равно 16 км. Не удержавшись от соблазна и проведя неполиткорректное решение, можно убедиться, что это действительно так.

МОЛОДЕЦ!!! 
А интуиция подсказала тебе верное направление! Но в данном случае нужно рассматривать не диагональ квадрата, как кратчайшее расстояние, а диагональ прямоугольника, т.к. изменение расстояний до перекрестка происходит неодинаково.  С учетом этого стоит определить какими признаками должны обладать стороны этого прямоугольника относительно скоростей ЗАЗов?

[Питер Пен]

Отображу ка я решение для гостей или будущих форумчан, кто, просматривая историю форума, будет заинтересован решением этой задачи.

В предлагаемом автором решении задачи производная, конечно, не применяется, но, тем не менее, само решение основывается на немного «корявеньком» уравнении: min (расстояние) =√((40-36t)²+(50-48t)²), решив которое относительно t (в мин.) можно получить следующее значение: min = 62±√(min²-256). А поскольку величина min²-256 должна быть ≥ 0, то min меньше 16 быть не может – значит, 16 км.
Я решал по-другому.
Заметим, движение ЗАЗов (тел) по перпендикулярам образует на оси координат треугольник, гипотенузу которого ошибочно хочется рассматривать как кратчайшее рас-стояние в случае (как верно подметил fortpost), когда образуемый треугольник становится правильным. Однако в рассматриваемом случае одно тело удаляется от центра координат, а другое – приближается. Причем удаляющееся от центра координат тело имеет бОльшую скорость и за соответствующий промежуток времени проходит бОльшее расстояние. Поэтому на оси координат правильный треугольник может быть образован уже после преодоления телами min расстояния, которое при заданных условиях движения тел должно соответствовать гипотенузе треугольника, стороны которого в определенный момент времени становятся пропорциональны их скоростям, т.е. для нахождения экстремума важен непосредственно момент возникновения этого соответствия (4/3 (48/36)). Ну а дальше легко определяется расстояние тел до оси координат - 9,6 км и 12,8 км, и min расстояние – 16 км.

[buka]

Я могу предложить решение без производных.
Показать скрытый текст

Заметим, что если расстояние минимальное, то и квадрат этого расстояния - минимален.
Запишем уравнение таким образом (Р - Сm и Сb - скорости медленной и быстрой машин соответственно, Т - время, К - расстояние медленной машины до перекрёстка в момент его прохождения быстрой машиной):
Р² = (K-TCm)² + (TCb)²
Это - уравнение расстояния Р как функция времени Т (отсчёт - от момента пересечения перекрёстка быстрой машиной)
Допустим, что этот минимум - Х.
Это значит, что Р² - Х = 0 = (K-TCm)² + (TCb)² для некоторого Т
Составим уравнение (K-TCm)² + (TCb)² + X = 0 и решим его относительно Т.
Но если это - минимум, то дискриминант должен быть равен нулю
И вся фишка - определить Х, чтобы дискриминант был равен 0...