Страниц: 1 ... 27 28 [29] 30 31 ... 34
  Печать  
Автор Тема: Парадокс двух конвертов  (Прочитано 128297 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (но уже не глядя на содержимое второго конверта).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)? Кажется, что шанс на выигрыш и проигрыш всегда одинаков (50%) вне зависимости от того, оставите ли вы себе открытый конверт или возьмёте вместо него второй. Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B. И открытие одного из конвертов (A) ничего не говорит вам о том — видите вы наибольшую или наименьшую сумму из двух предложенных. Однако математическое ожидание средней "стоимости" второго конверта говорит об ином.

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.

И этот результат не зависит от первоначальной суммы денег. Ведь в разных раундах могут использоваться разные пары (10 и 20, 120 и 60, 20 и 40, 120 и 240 и так далее). То есть в общем виде, если в конверте А лежит сумма С, то статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 0,5 х С/2 + 0,5 х 2С = 5/4 С.

Таким образом, теория говорит, всегда выгодно менять первоначальный свой выбор (12,5 больше 10), хотя в отдельных раундах вы будете проигрывать. Но против такого вывода восстаёт интуиция, которая просто кричит о принципиальном равенстве конвертов. Ведь поменяв их вы можете начать все рассуждения сначала (не открывая второй) и поменять снова.

В этом, собственно, и заключается "парадокс". Интересно было бы услышать мнение форумчан по этому поводу.

Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #420 : Декабрь 15, 2010, 14:17:06 �

Код:
первый   второй     первая    вторая
конверт  конверт   стратегия стратегия

24957   23601   30299   26029
18206   24631   27056   21098
23792   16219   23155   18393
16552   20291   22750   18871
17043   18750   19336   15136
18210   18828   22482   18422
16493   18337   21844   18350
18919   17594   20709   20662
16725   15972   20516   15784
18661   20417   22983   18231
----------------------------------------------
среднее:
18955,8 19464   23113   19097,6


10 серий. В каждой серии по 25 игр.
конверты имеют суммы от 1 до 2000
стратегии не зависят от знания верхней границы.

Итог:
Стратегия 1 - имеет преимущество перед просто угадыванием хорошего конверта и перед стратегией 2.
Стратегия 2 - приближается к среднему между суммами в первых и вторых конвертах. (от балды меняем конверт)

Записан
gst12345
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 271

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 14


Просмотр профиля
Ответ #421 : Декабрь 15, 2010, 14:26:00 �

Пока я не придумал, как точно оценить, беру первый попавшийся и все..
Как пример вот такая стратегия:

Оценка верхней границы:
На первой игре берёшь себе любой конверт. За потолок берёшь удвоенную его сумму.
По ходу игры корректируешь потолок.
Вычисляешь медиану всех увиденных сумм и принимаешь за потолок максимум между удвоенной медианой и максимальной увиденной суммой.

Стратегия выбора конверта
Если в первом конверте сумма меньше половины потолка, то меняешь, если больше, то не меняешь.
Даже если стратегия не сработает, то сравнительно со стратегией "наугад" ничего не теряешь.
В принципе можна поверить. Хотя в таком случае и выбирая всегда второй я ничего не теряю, кроме лишней возни с конвертами. Одна только проблема, что перерасчеты придется делать постоянно, если разброс сумм в конвертах будет большой.

А кстати, мы говорим только о верхней границе, а если ее не считать крайним возможным числом, то и с нижней может быть тот же фокус. Например, суммы которые мы видим никогда не опускались ниже 100 баксов. Может и ее подкоректировать раз уж пошла такая гулянка )))
Записан
T-Mon
Гений
*****
Offline Offline

Сообщений: 889

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 93
-вас поблагодарили: 134


Hakuna Matata!


Просмотр профиля
Ответ #422 : Декабрь 15, 2010, 14:30:27 �

Да, нижнюю также как и верхнюю надо рассчитывать. Забыл сказать ))))

в таком случае и выбирая всегда второй я ничего не теряю

Ну так мы Умнику доказываем не то, что его система проигрышна, а то, что она равноценна тому, чтобы забрать все первые конверты либо менять наугад.
Последнее редактирование: Декабрь 15, 2010, 14:32:10 от T-Mon Записан

Игра 16 "Банальности" на Назве!
Игра 17 "Банальности" на Назве!
Система рейтинга как в онлайн-играх. Спасибо за участие.
gst12345
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 271

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 14


Просмотр профиля
Ответ #423 : Декабрь 15, 2010, 14:35:10 �

Ну так мы Умнику доказываем не то, что его система проигрышна, а то, что она равноценна тому, чтобы забрать все первые конверты либо менять наугад.

Правильно, а еще можно проверить не дурят ли нас, если засунуть нос в оба конверта!
Записан
Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #424 : Декабрь 15, 2010, 14:41:06 �

Ну так мы Умнику доказываем не то, что его система проигрышна, а то, что она равноценна тому, чтобы забрать все первые конверты либо менять наугад.
Менят' наугад - будет среднее м/у суммами в 1 и 2 конвертах

вообше-то это одно и тоже, что брат' тол'ко первый конверт
Последнее редактирование: Декабрь 15, 2010, 14:42:57 от willi Записан
T-Mon
Гений
*****
Offline Offline

Сообщений: 889

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 93
-вас поблагодарили: 134


Hakuna Matata!


Просмотр профиля
Ответ #425 : Декабрь 15, 2010, 14:44:54 �

Ну так мы Умнику доказываем не то, что его система проигрышна, а то, что она равноценна тому, чтобы забрать все первые конверты либо менять наугад.
Менят' наугад - будет среднее м/у суммами в 1 и 2 конвертах

вообше-то это одно и тоже, что брат' тол'ко первый конверт
А я по-другому написал?

Брать первый конверт = брать второй конверт = брать любой конверт наугад
Записан

Игра 16 "Банальности" на Назве!
Игра 17 "Банальности" на Назве!
Система рейтинга как в онлайн-играх. Спасибо за участие.
Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #426 : Декабрь 15, 2010, 14:47:28 �

А я по-другому написал?

Брать первый конверт = брать второй конверт = брать любой конверт наугад

Тоже самое.
Я просто сначала написал коммент. Потом понял, что это тоже самое. Зачеркнул и написал, что это тоже самое.
(просто терет' коммент не хотел.)
Записан
gst12345
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 271

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 14


Просмотр профиля
Ответ #427 : Декабрь 15, 2010, 14:51:41 �

В общем предлагаю так:

считаем сколько заработали, делим на количество игр, получаем типа мат.ожидания (на счет медианы пока не уверен эффективность)

если вытянули меньше мат.ожидания - не согласны с этими редисками и требуем второй конверт,

вытянули больше - хватаем и бежим..

можна еще подумать, но лучше не думать))))
Записан
Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #428 : Декабрь 15, 2010, 14:59:19 �

У меня 1-ая стратегия такая:
первый раз берем свой конверт
далее оставляем если:
 Аi > 0,75 * МАХ(Аj), где j = [1,i-1] - максимал'ная сумма в нашем конверте за предыдущие ходы.
Записан
T-Mon
Гений
*****
Offline Offline

Сообщений: 889

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 93
-вас поблагодарили: 134


Hakuna Matata!


Просмотр профиля
Ответ #429 : Декабрь 15, 2010, 15:07:48 �

далее оставляем если:
 Аi > 0,75 * МАХ(Аj), где j = [1,i-1] - максимал'ная сумма в нашем конверте за предыдущие ходы.
А чем 0.5 не нравится?
Записан

Игра 16 "Банальности" на Назве!
Игра 17 "Банальности" на Назве!
Система рейтинга как в онлайн-играх. Спасибо за участие.
T-Mon
Гений
*****
Offline Offline

Сообщений: 889

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 93
-вас поблагодарили: 134


Hakuna Matata!


Просмотр профиля
Ответ #430 : Декабрь 15, 2010, 15:09:42 �

Код:
первый   второй     первая    вторая
конверт  конверт   стратегия стратегия

24957   23601   30299   26029
18206   24631   27056   21098
23792   16219   23155   18393
16552   20291   22750   18871
17043   18750   19336   15136
18210   18828   22482   18422
16493   18337   21844   18350
18919   17594   20709   20662
16725   15972   20516   15784
18661   20417   22983   18231
----------------------------------------------
среднее:
18955,8 19464   23113   19097,6
Что такое стратегия 1 и стратегия 2?
Записан

Игра 16 "Банальности" на Назве!
Игра 17 "Банальности" на Назве!
Система рейтинга как в онлайн-играх. Спасибо за участие.
Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #431 : Декабрь 15, 2010, 16:09:36 �

Что такое стратегия 1 и стратегия 2?

У меня 1-ая стратегия такая:
первый раз берем свой конверт
далее оставляем если:
 Аi > 0,75 * МАХ(Аj), где j = [1,i-1] - максимал'ная сумма в нашем конверте за предыдущие ходы.

Стратегия 2 - .... (от балды меняем конверт)
Записан
T-Mon
Гений
*****
Offline Offline

Сообщений: 889

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 93
-вас поблагодарили: 134


Hakuna Matata!


Просмотр профиля
Ответ #432 : Декабрь 15, 2010, 16:22:58 �

Проведи тогда и для стратегии 3
Аi > 0,5 * МАХ(Аj), где j = [1,i-1] - максимальная сумма в нашем конверте за предыдущие ходы.
Записан

Игра 16 "Банальности" на Назве!
Игра 17 "Банальности" на Назве!
Система рейтинга как в онлайн-играх. Спасибо за участие.
Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #433 : Декабрь 15, 2010, 16:33:51 �

Проведи тогда и для стратегии 3
Аi > 0,5 * МАХ(Аj), где j = [1,i-1] - максимальная сумма в нашем конверте за предыдущие ходы.
Код:
первый   второй     Ваша
конверт  конверт   стратегия

19844   20425   23683
18434   17209   21411
17470   19826   20998
21594   18741   25488
16664   18040   19325
20708   19336   25557
22426   17672   25005
19437   19146   23287
20275   20675   24997
14519   17623   19098
Записан
T-Mon
Гений
*****
Offline Offline

Сообщений: 889

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 93
-вас поблагодарили: 134


Hakuna Matata!


Просмотр профиля
Ответ #434 : Декабрь 15, 2010, 16:35:19 �

Я не то имел ввиду.
Первый конверт, второй конверт и три стратегии

Короче хотел увидеть сравнение порогов 0.75 и 0.5
Записан

Игра 16 "Банальности" на Назве!
Игра 17 "Банальности" на Назве!
Система рейтинга как в онлайн-играх. Спасибо за участие.
Страниц: 1 ... 27 28 [29] 30 31 ... 34
  Печать  
 
Перейти в: