Парадокс двух конвертов

[gst12345]

А теперь свяжите эти два события (мое и свое продолжение) )) Я связи не вижу и формального описания ему не существует.

Вы про что?

Про то, что после проиграша на 490 мы должны выиграть сразу на 1000 .

[Лев]

Умник понимает условие задачи примерно так:

Ставите 10 баксов и подбрасываете монетку.

Если орел - ваши 20 баксов.

Если решка - ваши 5.


Бесконечно играя в такую игру можно неимоверно разбогатеть, поймите.
Дело совсем в другом.

Вероятность 1/2 (и ассоциация с монеткой) НИЧЕМ не обоснована!
Она считается нами таковой, потому что мы НЕ ЗНАЕМ ничего о том, как кладут деньги в конверт. И это НЕПРАВИЛЬНО. Если чего-то не знаешь, то нельзя уповать на 50% !

[Um_nik]

А теперь свяжите эти два события (мое и свое продолжение) )) Я связи не вижу и формального описания ему не существует.

Вы про что?

Про то, что после проиграша на 490 мы должны выиграть сразу на 1000 .

Ну почему сразу? Можно потом. Важно лишь то, что при бесконечной игре это произойдет.

[Um_nik]

Лев, "Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B."

[gst12345]

А теперь свяжите эти два события (мое и свое продолжение) )) Я связи не вижу и формального описания ему не существует.

Вы про что?

Про то, что после проиграша на 490 мы должны выиграть сразу на 1000 .

Ну почему сразу? Можно потом. Важно лишь то, что при бесконечной игре это произойдет.

За это время вы можете проиграть миллион, пока это произойдет.

[gst12345]

Я там вверху допустил ошибку, исправляюсь. Если 1/2 на 5-10 и 1/2 на 10-20, то для 10 -1/2, 5 -1/4 и 20 - 1/4... Все это не применимо в данном случае.

Если мы вытащили в первом конверте 10, второй выбор либо 1 за 20 и 0 за 5, либо наоборот. Никаких 1/2 не будет.

Иначе, если б мы вытащили в первом конверте 5, то выходит вероятность вытащить во втором 10 - 2/3, а 20 - 1/3.
Тут тоже мат. ожидание можно посчитать?

[Лев]

За это время вы можете проиграть миллион, пока это произойдет.

Это уже другой разговор. О верхних (и нижних) планках. В условии они не определены.
Но, например, мы со Смитом (если не ошибаюсь) считаем, что их нужно определить.

Лев, "Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B."

Откуда это взято?

[Лев]

Если мы вытащили в первом конверте 10, второй выбор либо 1 за 20 и 0 за 5, либо наоборот. Никаких 1/2 не будет.

Вот-вот, и я об этом

[Um_nik]

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (но уже не глядя на содержимое второго конверта).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)? Кажется, что шанс на выигрыш и проигрыш всегда одинаков (50%) вне зависимости от того, оставите ли вы себе открытый конверт или возьмёте вместо него второй. Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B. И открытие одного из конвертов (A) ничего не говорит вам о том — видите вы наибольшую или наименьшую сумму из двух предложенных. Однако математическое ожидание средней "стоимости" второго конверта говорит об ином.

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.

И этот результат не зависит от первоначальной суммы денег. Ведь в разных раундах могут использоваться разные пары (10 и 20, 120 и 60, 20 и 40, 120 и 240 и так далее). То есть в общем виде, если в конверте А лежит сумма С, то статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 0,5 х С/2 + 0,5 х 2С = 5/4 С.

Таким образом, теория говорит, всегда выгодно менять первоначальный свой выбор (12,5 больше 10), хотя в отдельных раундах вы будете проигрывать. Но против такого вывода восстаёт интуиция, которая просто кричит о принципиальном равенстве конвертов. Ведь поменяв их вы можете начать все рассуждения сначала (не открывая второй) и поменять снова.

В этом, собственно, и заключается "парадокс". Интересно было бы услышать мнение форумчан по этому поводу.

Вот отсюда.

[Лев]

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (но уже не глядя на содержимое второго конверта).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)? Кажется, что шанс на выигрыш и проигрыш всегда одинаков (50%) вне зависимости от того, оставите ли вы себе открытый конверт или возьмёте вместо него второй. Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B. И открытие одного из конвертов (A) ничего не говорит вам о том — видите вы наибольшую или наименьшую сумму из двух предложенных. Однако математическое ожидание средней "стоимости" второго конверта говорит об ином.

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.

И этот результат не зависит от первоначальной суммы денег. Ведь в разных раундах могут использоваться разные пары (10 и 20, 120 и 60, 20 и 40, 120 и 240 и так далее). То есть в общем виде, если в конверте А лежит сумма С, то статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 0,5 х С/2 + 0,5 х 2С = 5/4 С.

Таким образом, теория говорит, всегда выгодно менять первоначальный свой выбор (12,5 больше 10), хотя в отдельных раундах вы будете проигрывать. Но против такого вывода восстаёт интуиция, которая просто кричит о принципиальном равенстве конвертов. Ведь поменяв их вы можете начать все рассуждения сначала (не открывая второй) и поменять снова.

В этом, собственно, и заключается "парадокс". Интересно было бы услышать мнение форумчан по этому поводу.

ВОТ условие задачи.

[gst12345]

Ответ такой, конверты абсолютно равноценны. Формула не верна.

Мат.ожидание вычисляется для одного события.

5 и 20 долларов - взаимоисключающие случаи, а взаимоисключение не позволяет им входить в одно событие, соответственно в одну формулу.

[Um_nik]

ВОТ условие задачи.

А дальше - это так, для прикола.

[Um_nik]

Ответ такой, конверты абсолютно равноценны. Формула не верна.

Мат.ожидание вычисляется для одного события.

5 и 20 долларов - взаимоисключающие случаи, а взаимоисключение не позволяет им входить в одно событие, соответственно в одну формулу.

Можете считать, что 0,5 - не вероятность того, что в этом конверте половина (целое), а вероятность того, что взяли пару 10-20 (и 5-10, соответственно)

[Арсений]

хорошая задачка)

[gst12345]

Ответ такой, конверты абсолютно равноценны. Формула не верна.

Мат.ожидание вычисляется для одного события.

5 и 20 долларов - взаимоисключающие случаи, а взаимоисключение не позволяет им входить в одно событие, соответственно в одну формулу.

Можете считать, что 0,5 - не вероятность того, что в этом конверте половина (целое), а вероятность того, что взяли пару 10-20 (и 5-10, соответственно)

И что?