Четыре задачки

[Робинзон]

1. Назовём два последовательных натуральных числа сложными, если каждое из них делится на квадрат любого своего простого делителя. Существует ли пара сложных чисел, больших числа 2014^20142014?

2. В городе Угрюмове-Грубове живёт 2028098 жителей. Несмотря на то, что жители города очень малообщительны, среди любых 2014 жителей есть трое попарно знакомых людей. (Если А знает Б, то и Б знает А). Докажите, что в городе есть четыре человека попарно знакомых друг с другом.

3. По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное число комнат, занумерованных по порядку целыми числами, и в каждой стоит по роялю. В этих комнатах живет некоторое конечное число пианистов (в одной комнате может жить и несколько пианистов). Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах — k-й и (k+1)-й,— приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k—1)-ю и (k+2)- комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся.

4. На плоскости дано несколько точек. Известно, что любые три точки можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда и все точки можно накрыть кругом радиуса 1.

[dektig]

4. Радиус описанной окружности (a) у любого треугольника, образуемого тремя точками меньше 1, что соответствует условию задачи. Значит  < 1*k.
 Впрочем, эта формула применима к любому количеству точек, накрываемому кругом с радиусом 1

[vlad]

Ну, допустим, дано N точек.
Если любые три можно накрыть кругом радиуса 1, то любые две, - a_i, a_j, - и подавно, где i,j=1,2,...,N.
Это значит, что расстояние между a_i и a_j меньше 2.
То есть существует некий круг диаметром 2, которому все они принадлежат, ведь из определения круга (геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга) ясно видно одно из свойств, что если радиус круга R, то расстояние между любыми двумя точками, принадлежащими этому кругу не превышает 2*R.

[Димыч]

Из того, что расстояние между любыми точками, принадлежащими кругу радиуса 1, не превышает 2, не следует, что им можно накрыть любое множество точек с таким свойством.

№1 не знаю как бы стал решать, если бы не слышал про уравнения Пелля. А так, например, x²-8y²=1 имеет бесконечно много решений.

[Димыч]

№4. Сначала докажем лемму Пусть есть множество точек (не меньше 2) и наименьший (или один из наименьших — но на самом деле наименьший будет только 1, но это не важно) круг, который накрывает это множество. Тогда либо найдутся 2 точки из множества, лежащие на концах диаметра круга, либо 3, лежащие на окружности и образующие остроугольный треугольник.
Доказательство. Заметим, что во-первых на окружности должны быть точки множества (иначе круг можно уменьшить), а во-вторых все точки множества, лежащие на окружности, не могут лежать на дуге, меньшей чем полуокружность (иначе можно чуть сдвинуть круг в направлении середины этой дуги и далее см. п. 1).
Будем рассматривать только точки, лежащие на окружности. Предположим, что нет 2 диаметрально противоположных точек из множества. Возьмем любую точку множества A, противоположная ей точка A’ не принадлежит множеству. На каждой из полуокружностей, на которые делит окружность диаметр AA’, должна быть хотя бы 1 точка множества (иначе все точки множества лежали бы на дуге, меньшей полуокружности). Возьмем на каждой из полуокружностей точку множества, ближайшую к A’, обозначим их B и C. В треугольнике ABC углы B и C острые, потому что опираются на дуги, меньшие полуокружности. Все точки множества лежат на дуге BAC, значит эта дуга не может быть меньше полуокружности. Равна полуокружности она тоже не может быть (иначе B и C были бы противоположными). Значит она больше полуокружности, а дуга BA’C, на которую опирается угол A, меньше полуокружности, значит угол A тоже острый. Q. E. D.
Теперь к задачке. Рассмотрим наименьший круг, накрывающий все наши точки.
Если есть 2 точки, лежащие на концах диаметра, сразу ясно, что радиус круга не больше 1, иначе даже эти 2 точки нельзя было бы накрыть кругом радиуса 1, тем более 3.
В противном случае есть остроугольный треугольник, для которого окружность нашего круга является описанной. Но тогда это наименьший круг, покрывающий вершины этого треугольника (из леммы видно, что наименьший круг, покрывающий 3 точки, не содержит их все на окружности, только когда точки лежат на прямой или в вершинах тупоугольного треугольника; а через 3 точки проходит только 1 окружность). Значит по условию радиус этого круга не больше 1.

[Робинзон]

Подсказки:
1.Показать скрытый текст

Постройте постепенный конструктив

2.Показать скрытый текст

2028098=2014*2014/2

3.Показать скрытый текст

См. статью Кванта 1989 №7 Этюды о полуинварианте

4.Показать скрытый текст

Используйте теорему Хелли. Если не знаете, поищите в интернете

Извините, исправил спойлер.