1.
Показать скрытый текст Сумма целых чисел а1, а2, ..., аn (написанных по окружности) равна 1. Для каждого к от 1 до n через Nk обозначим количество положительных среди n сумм (начинающихся с ак): ak, ak+ak+1, ..., ak+ak+1+...+an+a1+...+ak-1. Докажите, что все Nk различны.
2.
Показать скрытый текст n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разламывать не более одного раза. При каких n и m это возможно?
Правильный ответ нашел BIVES.
3.
Показать скрытый текст При каких натуральных n тонкий картонный квадратный лист площади n можно оклеить с двух сторон 2n бумажными квадратными салфетками площади 1. Салфетки можно перегибать, но нельзя рвать. Ответ обоснуйте.
Правильный ответ нашел Um_nik. Um_nik и Zhekas привели конструкцию оклеивания. Важное наблюдение также сделал Zhekas. Пока не доказана невозможность оклеивания для остальных квадратов.
VVV
Умник
Offline
Сообщений: 662
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 20
-вас поблагодарили: 55
|
|
� Ответ #30 : Март 02, 2011, 19:35:18 � |
|
5 школьников легко поделят 9 шоколадок.
как? поровну Каждый получит по 9/5 шоколадки.
|
|
|
Записан
|
Правила и тактика игры в "ассоциации". //текст доступен после регистрации// . Дополнительные методы, архив партий //текст доступен после регистрации// .
|
|
|
Вилли ☂
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1572
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722
☃
|
|
� Ответ #31 : Март 02, 2011, 19:37:54 � |
|
5 школьников легко поделят 9 шоколадок.
как? поровну Каждый получит по 9/5 шоколадки. точно. Можно же делит' не тол'ко по полам. Ок буду размышлят'
|
|
|
Записан
|
|
|
|
zhekas
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1035
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 34
-вас поблагодарили: 486
|
|
� Ответ #32 : Март 02, 2011, 21:14:54 � |
|
3) итак у нас есть квадрать со стороной ___________ \/m^2+n^2
сначала складываем из салфеток прямоугольник mxn его диагональ равна как раз sqrt(m^2+n^2) в четыре таких прямоугольника заворачиваем наш квадрат так чтобы диагонали ложились на рёбра этого квадрата. В центре квадрата с обоих сторон останется не заложенный квадрат площадью
(2*(m^2+n^2)-4mn)/2=(m-n)^2 тоесть со стороной длина которого целое число его мы закладываем обычным образом чтобы стороны салфеток были паралельны стороном центрального квадрата
|
|
� Последнее редактирование: Март 02, 2011, 21:24:57 от zhekas �
|
Записан
|
|
|
|
VVV
Умник
Offline
Сообщений: 662
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 20
-вас поблагодарили: 55
|
|
� Ответ #33 : Март 02, 2011, 21:18:53 � |
|
3) итак у нас есть квадрать со стороной ___________ \/m^2+n^2
сначала складываем из салфеток прямоугольник mxn его диагональ равна как раз sqrt(m^2+n^2) в четыре таких прямоугольника заворачиваем наш квадрат так чтобы диагонали ложились на рёбра этих квадратов. В центре квадрата с обоих останется не заложенный квадрат площадью
(2*(m^2+n^2)-4mn)/2=(m-n)^2 тоесть со стороной длина которого целое число его мы закладываем обычным образом чтобы стороны салфеток были паралельны стороном центрального квадрата
Осталось доказать, что для других квадратов это невозможно сделать.
|
|
|
Записан
|
Правила и тактика игры в "ассоциации". //текст доступен после регистрации// . Дополнительные методы, архив партий //текст доступен после регистрации// .
|
|
|
PARK
Свой человек
Offline
Сообщений: 241
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 16
|
|
� Ответ #34 : Март 03, 2011, 01:12:50 � |
|
2. Про шоколадки Показать скрытый текст n не больше 2m
|
|
|
|
BIVES
Умник
Offline
Сообщений: 687
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 53
-вас поблагодарили: 272
|
|
� Ответ #35 : Март 03, 2011, 15:46:52 � |
|
Показать скрытый текст Пусть [ ] целая часть числа. Тогда шоколадки можно разделить поровну если для всех целых k из промежутка 1, 2, ... n таких что [m(k-1)/n]<m(k-1)/n выполнено условие mk/n>= [m(k-1)/n]+1
|
|
� Последнее редактирование: Март 03, 2011, 16:37:53 от BIVES �
|
Записан
|
|
|
|
Um_nik
Гость
|
|
� Ответ #36 : Март 03, 2011, 16:45:33 � |
|
Zhekas привел конструкцию оклеивания Я, в принципе, тоже привел. Но у Zhekas'а более приемлемо для обклеивания в реальных условиях. Однако кому нужно обклеивать бесконечно тонкие квадраты салфетками?
|
|
|
Записан
|
|
|
|
Лев
Из мудрейших мудрейший
Offline
Сообщений: 2906
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1229
-вас поблагодарили: 1166
Искренне Ваш...
|
|
� Ответ #37 : Март 03, 2011, 18:36:23 � |
|
нанороботам
|
|
|
Записан
|
В действительности все не так, как на самом деле
|
|
|
VVV
Умник
Offline
Сообщений: 662
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 20
-вас поблагодарили: 55
|
|
� Ответ #38 : Март 03, 2011, 18:46:25 � |
|
Нет. Показать скрытый текст Пусть [ ] целая часть числа. Тогда шоколадки можно разделить поровну если для всех целых k из промежутка 1, 2, ... n таких что [m(k-1)/n]<m(k-1)/n выполнено условие mk/n>= [m(k-1)/n]+1 Это не ответ. Это одна идея плюс переформулировка условия. Zhekas привел конструкцию оклеивания Я, в принципе, тоже привел. Но у Zhekas'а более приемлемо для обклеивания в реальных условиях. Однако кому нужно обклеивать бесконечно тонкие квадраты салфетками? Прошу прощения! Я просто не заметил сообщение.
|
|
|
Записан
|
Правила и тактика игры в "ассоциации". //текст доступен после регистрации// . Дополнительные методы, архив партий //текст доступен после регистрации// .
|
|
|
BIVES
Умник
Offline
Сообщений: 687
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 53
-вас поблагодарили: 272
|
|
� Ответ #39 : Март 03, 2011, 19:40:06 � |
|
Показать скрытый текст Опять про шоколадку. Если m>=n, то разделить можно всегда, если m/n<1/2, то нельзя, если 1/2<=m/n<1, то можно разделить если m=n-1
|
|
|
Записан
|
|
|
|
VVV
Умник
Offline
Сообщений: 662
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 20
-вас поблагодарили: 55
|
|
� Ответ #40 : Март 03, 2011, 19:57:33 � |
|
Показать скрытый текст Опять про шоколадку. Если m>=n, то разделить можно всегда, если m/n<1/2, то нельзя, если 1/2<=m/n<1, то можно разделить если m=n-1 Нет. В смысле это не все варианты. Опять же рассмотрите частный случай m=9. Многое станет понятней.
|
|
|
Записан
|
Правила и тактика игры в "ассоциации". //текст доступен после регистрации// . Дополнительные методы, архив партий //текст доступен после регистрации// .
|
|
|
BIVES
Умник
Offline
Сообщений: 687
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 53
-вас поблагодарили: 272
|
|
� Ответ #41 : Март 03, 2011, 21:06:07 � |
|
Показать скрытый текст Опять про шоколадку. Если m>=n, то разделить можно всегда, если m/n<1/2, то нельзя, если 1/2<=m/n<1, то можно разделить если m=kr, n=ku, где r=u-1.
|
|
|
Записан
|
|
|
|
VVV
Умник
Offline
Сообщений: 662
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 20
-вас поблагодарили: 55
|
|
� Ответ #42 : Март 03, 2011, 21:20:17 � |
|
Показать скрытый текст Опять про шоколадку. Если m>=n, то разделить можно всегда, если m/n<1/2, то нельзя, если 1/2<=m/n<1, то можно разделить если m=kr, n=ku, где r=u-1. Да, это правильный ответ. Осталось доказать, что для других пар это сделать нельзя.
|
|
|
Записан
|
Правила и тактика игры в "ассоциации". //текст доступен после регистрации// . Дополнительные методы, архив партий //текст доступен после регистрации// .
|
|
|
PARK
Свой человек
Offline
Сообщений: 241
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 16
|
|
� Ответ #43 : Март 04, 2011, 00:13:31 � |
|
Согласен, Да действительно 6шок на 10шк не разделишь
|
|
� Последнее редактирование: Март 04, 2011, 02:45:11 от PARK �
|
Записан
|
|
|
|
PARK
Свой человек
Offline
Сообщений: 241
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 16
|
|
� Ответ #44 : Март 04, 2011, 00:40:12 � |
|
Показать скрытый текст Опять про шоколадку. Если m>=n, то разделить можно всегда, если m/n<1/2, то нельзя, если 1/2<=m/n<1, то можно разделить если m=kr, n=ku, где r=u-1. Да, это правильный ответ. Осталось доказать, что для других пар это сделать нельзя. Где ж тут правильный ответ. Согласно ответу если 1/2<=m/n<1, то можно разделить если m=kr, n=ku, где r=u-1 получается, что 6 шоколадок на 8 школьников разделить нельзя, а ведь можно: от каждой шоколадки отломать по 0,75 и раздать шестерым, а двум оставшимся три по 0,25 = 0,75 каждому.
|
|
� Последнее редактирование: Март 04, 2011, 02:37:03 от PARK �
|
Записан
|
|
|
|
|